千葉大学整数問題 解答
\(ユークリッドの互除法により、G.C.D.(m,2m+1)=1 すなわちこれらは互いに素であり、\)
\(m及びm^2は2m+1を約数に持たない。\)
\(したがって、m^4+14m^2=m^2(m^2+14)が2m+1の整数倍となるためには \)
\(m^2+14が2m+1の整数倍とならなければならない。\)
\(このとき m^2+14=(2m+1)k, (k\in \mathbb Z) とおける。 \)
\(\Leftrightarrow 4m^2+56=(2m+1) \times 4k \)
\(\Leftrightarrow 4m^2-1-(2m+1) \times 4k=-57\)
\(\Leftrightarrow (2m+1)(2m-1)-(2m+1) \times 4k=-57\)
\(\Leftrightarrow (2m+1)(2m-1-4k)=-57\)
\((2m+1 \in\mathbb Z \cap 2m-1-4k \in \mathbb Z ) であるので\)
\( 2m+1=\pm1 \cup \pm3 \cup \pm19 \cup \pm57\)
\(これを解くと 条件を満たすものは m=0, \pm1, -2, 9, -10, 28, -29 のみである。\)
