千葉大学整数問題 解答

(解答)

\(ユークリッドの互除法により、G.C.D.(m,2m+1)=1 すなわちこれらは互いに素であり、\)

\(m及びm^2は2m+1を約数に持たない。\)

\(したがって、m^4+14m^2=m^2(m^2+14)が2m+1の整数倍となるためには \)

\(m^2+14が2m+1の整数倍とならなければならない。\)

\(このとき m^2+14=(2m+1)k, (k\in \mathbb Z)  とおける。 \)

\(\Leftrightarrow 4m^2+56=(2m+1) \times 4k \)

\(\Leftrightarrow 4m^2-1-(2m+1) \times 4k=-57\)

\(\Leftrightarrow (2m+1)(2m-1)-(2m+1) \times 4k=-57\)

\(\Leftrightarrow (2m+1)(2m-1-4k)=-57\)

\((2m+1 \in\mathbb Z \cap 2m-1-4k \in \mathbb Z ) であるので\)

\( 2m+1=\pm1 \cup \pm3 \cup \pm19 \cup \pm57\)

\(これを解くと 条件を満たすものは m=0, \pm1, -2, 9, -10, 28, -29  のみである。\)