複素数の問題 解法1

まず、最初に問題を精査してみます。

\(i\)で割れば因数分解の良い形が見えます。

そして、展開をある程度までにしておく工夫を用いて、\(a-2=b\)を見抜くこと

これに気付けると良いでしょうね。

\(z=a+bi\)\((a,b∈\mathbb{R}∩b<0)\) とする。

$$iz^2-4iz+\frac{1}{2}+4i=0$$

全体を\(i\)で割ると

$$z^2-4z+\frac{1}{2i}+4=0$$

\(i\)を有理化し、移項して

$$ z^2-4z+4=\frac{1}{2}i$$

$$ (z-2)^2=\frac{1}{2}i$$

$$z=a+biより$$

$$\{(a-2)+bi\}^2=\frac{1}{2}i$$

実部を比較して

$$ (a-2)^2-b^2=0$$

$$∴ a-2=±b・・・①$$

虚部を比較して

$$2(a-2)b=\frac{1}{2}・・・②$$

①より、\(a-2=-b\)のとき ②に代入すると

$$-2b^2=\frac{1}{2}$$

$$b^2=-\frac{1}{4}$$となり \(b∈\mathbb{R}\)に矛盾。

よって\(a-2=b\)であり、これを②に代入すると

$$b^2=\frac{1}{4}$$

$$b=-\frac{1}{2}\ (∵b<0) $$

これを③に代入して

$$a-2=-\frac{1}{2}$$

$$a=\frac{3}{2}$$

 $$ ∴ z=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$$

次回 解法2では、少し高度なアプローチをしていきます。

お楽しみに。