大問3(3)　解答

さて、楽しい数学の時間です。

問題はこちら。

大問 3(3)（解答）

(証明) $$S_k(P－1)について (k=1,2,…,P－2) $$

以下、合同式は \(P \)を法とする。

(ⅰ) $$k=1 のとき$$

大問 3(2)より

$$T_n(P－1)= P^n－P≡0 (n ∈\mathbb{N})$$ …①

$$また、T_1(P－1)= S_1(P－1) $$

$$よって S_1(P－1)≡0 となり成立する。$$

$$ (ⅱ) k=m のとき (P－３≧m≧1 ∩ m∈\mathbb{N}) $$

$$P=3 のとき k＝１ であり S_k(P－1)≡1+2≡0$$

$$よって P≧5 において考える。（すると P－3 は自然数である) $$

$$このとき、S_1(P－1)≡0, S_2(P－1)≡0,…, S_m(P－1)≡0 $$…②

が成立すると仮定する。

$$(ⅲ)k=m+1 のとき$$

$$T_{m+2}(P－1)={}_{m+2} C_1S_1(P－1)+{}_{m+2} C_2S_2(P－1)+…+{}_{m+2} C_mS_m(P－1) +{}_{m+2} C_{m+1}S_{m+1}(P－1) $$…③

$$ここで、P は P－1 以下の自然数で構成される合成数とは互いに素であるので、P と(P－1)!は互いに素。$$

$$したがって、(P－1)!の約数である {}_x C_k (x=1,2,…,P－1)と Pも互いに素。$$…④

①～④より
$$S_{m+1}(P－1)≡0 となり、k=m+1 のときも成立する。$$

(ⅰ)～(ⅲ)から、数学的帰納法により、
$$S_k(P－1)≡0 (k=1,2,…,P－2) 　　　 ■$$

さて如何だったでしょうか・・・

大方の人は、なんだコレ　こんなの解けないし　解答もよく解らないと思うのではないでしょうか。

書いた本人の私もそう思います。

しかし、穴のない解答を作るとなると　こんな感じです。

そして・・・　実は授業をした生徒さんには別の解法を教えています。

もっと簡潔で、数学的帰納法もいらないきれいにまとまる解法です。

気になる生徒さんは聞いてくださいな。

勿論、教えますよ