大問3(3) 解答

さて、楽しい数学の時間です。

問題はこちら

大問 3(3)(解答)


(証明) \(S_k(P-1)について (k=1,2,…,P-2) \)


以下、合同式は \(P \)を法とする。


(ⅰ) \(k=1 のとき\)


大問 3(2)より


\(T_n(P-1)= P^n-P≡0\) \( (n ∈\mathbb{N}) …①\)


\(また、T_1(P-1)= S_1(P-1) \)


\(よって S_1(P-1)≡0 となり成立する。\)


\( (ⅱ) k=m のとき (P-3≧m≧1 ∩ m∈\mathbb{N}) \)


\(P=3 のとき k=1 であり S_k(P-1)≡1+2≡0\)


\(よって P≧5 において考える。(すると P-3 は自然数である) \)


\(このとき、S_1(P-1)≡0, S_2(P-1)≡0,…, S_m(P-1)≡0 …②\)


が成立すると仮定する。


\( (ⅲ)k=m+1 のとき\)

$$T_{m+2}(P-1)={}_{m+2} C_1S_1(P-1)+{}_{m+2} C_2S_2(P-1)+…$$

$$+{}_{m+2} C_mS_m(P-1) +{}_{m+2} C_{m+1}S_{m+1}(P-1) …③$$

ここで、\(P は P-1 \)以下の自然数で構成される合成数とは互いに素であるので、\(P と(P-1)!\)は互いに素。

したがって、\( (P-1)!の約数である {}_x C_k (x=1,2,…,P-1)と Pも互いに素。\)…④


①~④より
\( S_{m+1}(P-1)≡0 となり、k=m+1 のときも成立する。\)


(ⅰ)~(ⅲ)から、数学的帰納法により、
\(S_k(P-1)≡0 \) \( (k=1,2,…,P-2)     ■\)

さて如何だったでしょうか・・・

大方の人は、なんだコレ こんなの解けないし 解答もよく解らないと思うのではないでしょうか。

書いた本人の私もそう思います。

しかし、穴のない解答を作るとなると こんな感じです。

そして・・・ 実は授業をした生徒さんには別の解法を教えています

もっと簡潔で、数学的帰納法もいらないきれいにまとまる解法です。

気になる生徒さんは聞いてくださいな。

勿論、教えますよ