大問3(1)(2) 二項定理の問題 解答

さて、少しむずかしめな大問3の解説です。

問題はこちら

大問 3(1)(解答)


\(T_m(1)={}_m C_1+{}_m C_2+…+{}_m C_{m-1}\)


ここで二項定理より


\( (1 + 𝑋)^𝑚 ={}_m C_0+{}_m C_1X+{}_m C_2X^2+…+{}_m C_mX^m…(☆) \)


(☆)に \(X=1 \)を代入すると


\(2^m= {}_m C_0+{}_m C_1+{}_m C_2+…+{}_m C_m\)


また、\({}_m C_0={}_m C_m=1 \)であるので


\(T_m(1)= 2^m-2\)…(答)


\(T_m(2)={}_m C_1(1+2)+{}_m C_2(1+2^2
)+…+{}_m C_{m-1}(1+2^{m-1}
) \)


\( =( {}_m C_1+{}_m C_2+…+{}_m C_{m-1})
+({}_m C_12+{}_m C_22^2+…+{}_m C_{m-1}2^{m-1}) \)


ここで(☆)に \(X=1、X=2 \)を代入したものを考えると


\(2^m= {}_m C_0+{}_m C_1+{}_m C_2+…+{}_m C_m\)


また、\(3^m= {}_m C_0+{}_m C_12+{}_m C_22^2+…+{}_m C_m2^m\)


\(= 1+{}_m C_12+{}_m C_22^2+…+{}_m C_{m-1}2^{m-1}+2^m\)


よって、\(T_m(2)=2^m-2+3^m-1-2^m\)

\(=3^m-3\)…(答)

(2) (方針)(1)と同様、二項定理を繰り返し用いる。

(解答)


(1)の(☆)に順次 \(X=1、X=2、…、X=n \)を代入したのを考え


\(T_m(n)= ({}_m C_1+{}_m C_2+…+{}_m C_{m-1})
+({}_m C_12+{}_m C_22^2+…+{}_m C_{m-1}2^{m-1}
)
+…\)

\(+ ({}_m C_1n+{}_m C_2n^2+…+{}_m C_{m-1}n^{m-1}
) \)


\(=(2^m-2)+(3^m-1-2^m)+(4^m-1-3^m)
+…+{(n+1)^m-1-n^m}\)


\(=(n+1)^m-(n+1) \)…(答)

実は(1)の文字数の多さに、最初、式を組み立てミスをしてしまいました。

始めの方の問題は後ろに続く問題のヒントになっていることがほとんどなので、特に丁寧さを必要としますね。

今回の問題は二項係数を分配し、組み直していく過程に気付ければ、解くことが出来るはずです。