大問2(2) ガウス記号の問題 解答

前回に続き大問2の解説です。

問題はこちら

今回、ガウス記号の具体的な性質に着目するのがポイントです。

例えば\([123.56]=[123+0.56]=123\)

一般化すると整数+(0以上1未満の数)に分ける感じかあ・・・

なんて具体的な数字のイメージで考え始めてもらうといいでしょう。

(2) (解答)


(ⅰ) \(1 \)≦\(x \)≦\(99 \)において(\(x \)は整数)(1)より \(1 < f(x + 1) − f(x)\)なので、\([f(x)] < [f(x + 1)] \)即ち、\([f(1)]<[f(2)]<・・・<[f(99)]<[f(100)]\)となり 全ての数 が異なっていることがわかる。よって \(99\) 種類の整数が存在 する。

また、\([f(99)]\)と\([f(100)]\)は異なっている。

(ⅱ) \(100 \)≦ \(x \)≦\(999\)において(\(x \)は整数) (1)より\( 1 > f(x + 1) − f(x) > 0 \)なので、
\([f(x)] + 1 = [f(x + 1)]または[𝑓(𝑥)] = [𝑓(𝑥 + 1)]\)
つまり、\([f(100)]から[f(1000)]\)までの整数はいくつかの重なりを持ちながら不足なく存在している。
\([f(100)]=460 \)また\([f(1000)]=690 \)ゆえ
\(690-460+1=231\)
\(231 \)種類の整数が存在する。


(ⅰ)(ⅱ)より\( 99+231=330\)

よって、\(330 \)個の異なる整数が存在す
る。 ・・・(答)

性質を整理すると\([x+1]=[x]+1\)であるということ。

優しい言葉で表現すると、ガウス内の数字の差が1以上の二つの数字は必ず異なり、差が0以上1未満であれば二つの数字は同じ整数、若しくは連続する整数であるということ。

余裕があれば、解答内に証明を入れるといいですね。

これも、考えてから5分から10分ぐらいで解き終われるといいと思います。