ベータ関数の積分　解説

先日紹介した2024年　東京理科大　理学部第一部で出題されたベータ関数の解法の解説です。

$$ \int_{3}^{5} (x-3)^5(5-x)^3 dx$$

$$=\left[\frac{1}{6}(x-3)^6 (5-x)^3 \right]_3^5+\frac{1}{2}\int_{3}^{5} (x-3)^6(5-x)^2 dx$$

$$=\left[\frac{1}{14}(x-3)^7(5-x)^2 \right]_3^5+\frac{1}{7}\int_{3}^{5} (x-3)^7(5-x) dx$$

$$=\left[\frac{1}{56}(x-3)^8 (5-x) \right]_3^5+\frac{1}{56}\int_{3}^{5} (x-3)^8dx$$

$$=\left[\frac{1}{56×9}(x-3)^9 \right]_3^5$$

$$=\frac{2^9}{2^3×7×9}$$

$$=\frac{64}{63}$$

※総括

今回の場合、\((x-3)と(5-x)\)の項が残る部分積分を利用すれば、そこの部分はゼロとなるため計算せずにすみます。

平行移動させて対称性を利用とか、今回の場合どうでもよいのです。

言われてみると簡単な事ですね！！